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2014年江蘇公務(wù)員行測指導：拉燈問(wèn)題思路分析
http://www.cqfhp.com/ 2013-09-10 來(lái)源：江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)
拉燈問(wèn)題曾是困惑很多學(xué)員的難題，特別是當燈的總數量比較大的時(shí)候，如何來(lái)確定此類(lèi)問(wèn)題最終亮著(zhù)的或滅掉的燈的數量是此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)（http://www.jsgwy.com.cn/）主要從以下幾個(gè)題型具體分析解決此類(lèi)問(wèn)題的思路。
一、初等拉燈問(wèn)題---倍數、約數
例1： 走廊里有10盞電燈，從1到10編號，開(kāi)始時(shí)電燈全部關(guān)閉。有10個(gè)學(xué)生依次通過(guò)走廊，第1個(gè)學(xué)生把所有的燈繩都拉了一下，第2個(gè)學(xué)生把2的倍數號的燈繩都拉了一下，第3個(gè)學(xué)生把3的倍數號的燈繩都拉了一下……第10個(gè)學(xué)生把第10號燈的燈繩拉了一下。假定每拉動(dòng)一次燈繩，該燈的亮與不亮就改變一次。試判定：當這10個(gè)學(xué)生通過(guò)走廊后，走廊里有多少盞燈是亮的？
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：
（1）原來(lái)電燈全部關(guān)閉，拉一下，亮著(zhù)；拉兩下，滅了；拉三下，亮著(zhù)。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數次的燈亮著(zhù)。
（2）可從最簡(jiǎn)單的情況考慮，把拉過(guò)某號的學(xué)生號碼寫(xiě)出來(lái)尋找規律，如1號是第1個(gè)學(xué)生拉過(guò)，4是1,2，4號拉過(guò)，6是1,2，3,4號學(xué)生拉過(guò)，10是1,2，5,10號學(xué)生拉過(guò)，也就是第i號燈的燈繩被拉的次數就是i的所有約數的個(gè)數。由自然數因數分解的性質(zhì)知，只有當i是平方數時(shí)，i的約數的個(gè)數才是奇數，所以只有1，4，9號燈亮著(zhù)。
本題答案：1，4，9號燈亮著(zhù)，共有3盞燈。選B。
總結：此類(lèi)拉燈問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，假如把數字擴大看起來(lái)會(huì )很麻煩，但思路還是相同的，在做題是要擅長(cháng)歸納總結，提煉出基本模型。下面看一下數字較大的情況：
例2：一間實(shí)驗室里有100盞燈，分別編號為1、2、3、……、100號，它們起初都是關(guān)著(zhù)的。現在有學(xué)號為1、2、3、……、100號的學(xué)生分別走進(jìn)這間實(shí)驗室。1號學(xué)生把所有的燈的開(kāi)關(guān)都拉了一次；2號學(xué)生把偶數號的燈的開(kāi)關(guān)又都拉了一次；3號學(xué)生把倍數是3的號數的燈的開(kāi)關(guān)都拉了一次；4號學(xué)生把倍數是4的號數的燈的開(kāi)關(guān)都拉了一次；……當這100個(gè)學(xué)生全部走進(jìn)了實(shí)驗室之后，最后亮著(zhù)的燈有多少盞？（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
分析：
（1） 原來(lái)電燈全部關(guān)閉，拉一下，亮著(zhù)；拉兩下，滅了；拉三下，亮著(zhù)。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數次的燈亮著(zhù)。
（2） 思路同例1，所有的平方數的燈亮著(zhù)。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，10盞燈亮著(zhù)。
選D。
例3：現在有1000盞燈，全亮，每個(gè)燈都由1個(gè)拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)控制。然后拉開(kāi)關(guān)，規則：
先拉一下1的倍數的開(kāi)關(guān)。（也就是說(shuō)每個(gè)燈都得拉一下），然后拉2的倍數的開(kāi)關(guān)……
……最后拉1000的倍數的開(kāi)關(guān)，問(wèn)最后有幾盞燈是亮的？（ ）
A.21 B.31 C.969 D.979
分析：
（1）原來(lái)電燈全亮著(zhù)，拉一下，滅了；拉兩下，亮著(zhù)；拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數次的燈滅了。此題先求滅著(zhù)的燈的數量，再求亮著(zhù)的燈。
（2）思路同例1，被拉過(guò)奇數次的是約數為奇數個(gè)的燈，也就是燈號為平方數的燈，
1000以?xún)龋鹤钚∮?的平方，最大有31的平方。滅掉的燈有31盞，因此亮著(zhù)燈有1000-31=969盞。
（3）注意：看清本題要求，不能選31，正確答案選C。
（二）拉登難題—三集合容斥原理型
例4： 有1000盞亮著(zhù)的燈，各有一個(gè)拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)控制著(zhù)。現按其順序編號為1、2、3、4、5······1000，然后將編號為2的倍數的燈線(xiàn)拉一下，再將編號為3的倍數的燈線(xiàn)拉一下，最后將編號為5的倍數的燈線(xiàn)拉一下，三次拉完后，亮著(zhù)的電燈有多少盞？（ ）
A.468 B.499 C.501 D.532
分析：
（1） 原來(lái)電燈亮著(zhù)，拉一下，滅了；拉兩下，亮著(zhù)；拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數次的燈滅了。此題先求滅著(zhù)的燈的數量，再求亮著(zhù)的燈。
（2） 注意：此題目拉燈的方法不同前三個(gè)例題。編號為2的倍數，3的倍數，5的倍數的燈一次都拉。可以據此，看做是三集和問(wèn)題。
（3） 三個(gè)圓圈分別代表：上圓---編號為2的倍數的燈，有500盞；左圓---編號為3的倍數的燈，有333盞燈，右圓---編號為5的倍數的燈，有200盞。其燈的亮或滅情況見(jiàn)圖，
（4） 數據計算：即能被2又能被3整除的有1000/6=166個(gè)；同理，能被2,5整除的有200個(gè)，能被3,5整除的有66個(gè)，能同時(shí)被2.3.5整除的有33個(gè)。請學(xué)員把每部分的數據填到上圖中，圖中四部分滅的燈有：上圓：500-166-100+33=267；左圓：333-166-66+33=134；右圓：200-100-66+33=67；中心滅：33，四部分滅著(zhù)的燈共有：267+134+67+33=501，所有亮著(zhù)燈有1000-501=499.選B。
（5） 注意看清題目，501為易錯選項。
拉燈問(wèn)題，題目本身看起來(lái)操作繁瑣，但是其中蘊含的數學(xué)道理不難，我們希望學(xué)員們，熟練掌握此類(lèi)型題目的解決思路，熟能生巧。
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