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2014年江蘇公務(wù)員行測指導:數學(xué)同素分堆問(wèn)題
http://www.cqfhp.com/       2013-10-16      來(lái)源:江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)
【字體: 】              
  同素分堆問(wèn)題是求方法數問(wèn)題的一種基本題型。它的最基本的模型是:

  “把n個(gè)相同的元素分成m堆,每堆至少1個(gè),問(wèn)有多少中不同的分法?”

  這里的“同素”即“相同的元素”,在這個(gè)模型中,最關(guān)鍵的是“每堆至少1個(gè)”這句話(huà),必須是每堆至少一個(gè),才可用我們接下來(lái)要講的解決這類(lèi)問(wèn)題的方法:隔板法。

  【例1】把10本相同的書(shū)分給3個(gè)班級,每班至少1個(gè),問(wèn)有多少種不同的分法?

  【思路】本題中“同素”:是10本相同的書(shū),故n=10;

  分給3個(gè)班級:即將書(shū)分成3堆,故m=3;

  每班至少1本。

  故本題為同素分堆問(wèn)題的最基本的模型。

  解決方法:隔板法。把10本書(shū)排成一排,因為書(shū)是相同的,不存在排列順序問(wèn)題。

  要把這10本書(shū)分成三堆,只要在這10本書(shū)形成的空隙中插入2個(gè)隔板即可。10本書(shū)排成一排,形成了11個(gè)空。但是,因為要求每班至少分一本書(shū),所以最前面的空和最后一個(gè)空是不能插板的,則只能在中間形成的9個(gè)空中插入2個(gè)隔板,即從9個(gè)空中選擇2個(gè)空插入隔板。然而,到底選擇的2個(gè)空插入隔板是用排列還是組合呢?

  【解析】由于兩個(gè)隔板的放置的位置不同就已經(jīng)體現了三個(gè)班級分得書(shū)本數的可能性,故只要在9個(gè)空中選2個(gè)位置放隔板即可,不需要選完之后再排列,用組合即可,即隔板的放置方法共有   種,也即把10本相同的書(shū)分給3個(gè)班級,每班至少1個(gè),共有   種方法。

  【總結】把n個(gè)相同的元素分成m堆,每堆至少1個(gè),有   不同的分法。

  然而,行測數學(xué)運算部分關(guān)于此知識點(diǎn)的考查往往是基本模型的變形的形式。和基本模型的主要區別在于,題干中所給的條件不在是“每堆至少1個(gè)”,而是“每堆至少多于1個(gè)”,當問(wèn)題這樣變形后,就不能直接用隔板法解決了。

  【例2】把10本相同的書(shū)分給3個(gè)班級,每班至少2本,問(wèn)有多少種不同的分法?

  【解析】這個(gè)問(wèn)題中,在分書(shū)時(shí),要求的是“每班至少2本”。我們說(shuō),在應用隔板法解決同素分堆問(wèn)題時(shí),要求必須是“每堆至少1個(gè)”。為此,解決不是“每堆至少1個(gè)”的同素分堆問(wèn)題時(shí),我們用轉化的思想。即想辦法把“每班至少多于1個(gè)”轉化成“每堆至少1個(gè)”,再應用隔板法解題。

  本題中就可以通過(guò)先每班分一本書(shū),然后還剩7本書(shū),所以本題就轉化為:

  “把7本相同的書(shū)分給3個(gè)班級,每班至少一本,問(wèn)有多少中不同的分法?”

  應用隔板法:n=7,m=3,故有 種不同的分法。

  【總結】在應用隔板法解決同素分堆問(wèn)題時(shí),一定要區分題干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1個(gè)”,可直接應用隔板法解題;如果“每堆至少分的多于1個(gè)”,則應該將其轉化為“每堆至少分1個(gè)”的情況,再應用隔板法。


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