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2015年江蘇公務(wù)員考試行測指導：方陣問(wèn)題
http://www.cqfhp.com/ 2014-10-10 來(lái)源：江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)
一、考情分析
通過(guò)近幾年的省考來(lái)看，方陣問(wèn)題雖然并不像行程問(wèn)題、利潤問(wèn)題那樣年年都會(huì )考查。但是作為公務(wù)員考試的一個(gè)常考知識點(diǎn)，大家還是應該對其引起重視，尤其近兩年常會(huì )碰到的方陣的轉換及變形，以及空心方陣問(wèn)題都有一定難度，需要大家熟記方陣問(wèn)題的公式。
二、基礎知識
1.題型簡(jiǎn)介
方陣問(wèn)題是數學(xué)運算中一類(lèi)常見(jiàn)的數學(xué)問(wèn)題，是許多人或物按一定的條件排成正方形（簡(jiǎn)稱(chēng)方陣），再根據排成的方陣，找出規律，尋求解決問(wèn)題的方案。
2.概念區分
行：排隊時(shí)，橫著(zhù)排叫做行。
列：排隊時(shí)，豎著(zhù)排叫做列。
實(shí)心方陣：中心區域沒(méi)有空缺，叫實(shí)心方陣。
如圖1是實(shí)心方陣。
偶數型實(shí)心方陣：如圖3方陣每行每列都為偶數，叫偶數型實(shí)心方陣，其幾何中心不存在元素，其中心區域由4個(gè)元素構成。
3.方陣問(wèn)題的基本概念
（1）方陣不管在哪一層，每邊人的數量都相同，每向里面一層，每邊的數就減少2。
（2）方陣每相鄰兩層之間的總人數都相差8。
4.解題思路
在解決方陣問(wèn)題時(shí)，首先應該準確判斷方陣的類(lèi)型，要搞清方陣中的一些量（如層數、最外層人數、最里層人數、總人數）之間的關(guān)系。解題時(shí)要開(kāi)動(dòng)腦筋，運用相關(guān)公式，用多種方法來(lái)解題。
三、方陣問(wèn)題考點(diǎn)精講
（一）實(shí)心方陣
（1）方陣總人數=方陣最外層每邊人數的平方
（2）方陣每層總人數=方陣每層每邊人數×4-4
（3）方陣每層每邊人數=（方陣每層總人數+4）÷4
（4）奇數型實(shí)心方陣的最外層每邊人數=2×層數-1
偶數型實(shí)心方陣的最外層每邊人數=2×層數
例題1：在一次閱兵式上，某軍排成了30人一行的正方形方陣接受檢閱。最外兩層共有多少人？
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案詳解】根據題意可知，閱兵方陣為實(shí)心方陣。
最外層每邊30人，則最外層總人數為30×4-4=116人；
根據相鄰兩層相差為8人可知，次外層總人數為116-8=108人；
最外兩層共有116＋108=224人。
提示：（1）在方陣中若去掉一行一列，去掉的人數=原來(lái)每行人數×2-1；
（2）在方陣中若去掉二行二列，去掉的人數=原來(lái)每行人數×4-2×2。
（二）空心方陣
根據“相鄰兩層的人數相差為 8”，即以方陣最外層人數為首項，依次向里，組成一個(gè)公差為-8 的等差數列，利用等差數列求和公式可得：
方陣總人數=層數×最外層總人數-（層數-1）×層數÷2×8=層數×最外層總人數-（層數-1）×層數×4
方陣總人數=層數×最內層總人數+（層數-1）×層數÷2×8=層數×最內層總人數+（層數-1）×層數×4
公式不需要直接記憶，只要記住每一層的人數能夠組成一個(gè)公差為-8的等差數列就可以了。
例題2：有一隊士兵排成若干層的中空方陣，外層人數共有60人，中間一層共44人，則該方陣士兵的總人數是：
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案詳解】方法一，根據“相鄰兩層人數相差為8”，結合“外層人數共有60人，中間一層共44人”，可知這個(gè)方陣從外到內每層人數依次是60、52、44、36、28，所以該方陣士兵的總人數是60+52+44+36+28=220人。
方法二，最外層到中間一層相差（60-44）÷8=2層，即中間一層是第3層，一共有5層，則總人數是5×44=220人。
（三）方陣人數增減
例題3：體育課學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數為60人，如要在方陣最外層增加一層，則增加后最外層每邊有多少人？
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案詳解】增加前最外層人數為60人，則最外邊每邊人數為（60+4）÷4=16，增加一層后最外層每邊人數為16+2=18人。
（四）方陣重排
例題4：五年級學(xué)生分成兩隊參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲、乙兩個(gè)實(shí)心方陣，其中甲方陣最外層每邊的人數為8。如果兩隊合并，可以另排成一個(gè)空心的丙方陣，丙方陣最外層每邊的人數比乙方陣最外層每邊的人數多4人，且甲方陣的人數正好填滿(mǎn)丙方陣的空心。五年級參加廣播操比賽的一共有多少人？
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案詳解】空心的丙方陣人數=甲方陣人數+乙方陣人數，若丙方陣為實(shí)心的，那么實(shí)心的丙方陣人數=2×甲方陣人數+乙方陣人數，即實(shí)心丙方陣比乙方陣多8×8×2=128人。
丙方陣最外層每邊比乙方陣多4人，則丙方陣最外層總人數比乙方陣多4×4=16人，即多了16÷8=2層。這兩層的人數即實(shí)心丙方陣比乙方陣多的128人，則丙方陣最外層人數為（128+8）÷2=68人，則丙方陣最外層每邊人數為（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260人。
（五）方陣問(wèn)題與其他問(wèn)題相結合
例題5：某部隊戰士排成了一個(gè)6行、8列的長(cháng)方陣。現在要求各行從左至右１，２，１，２，１，２，１，２報數，再各列從前到后１，２，３，１，２，３報數。問(wèn)在兩次報數中，所報數字不同的戰士有：
A.18個(gè) B.24個(gè) C.32個(gè) D.36個(gè)
【答案詳解】此題可畫(huà)出直觀(guān)圖進(jìn)行解答。當從左至右報1時(shí)，從前至后報2的有8人，報3的也有8人；當從左至右報2時(shí)，同理可得，從前至后報1的有8人，報3的也有8人，即所報數字不同的戰士有32人。故選C。
四、核心要點(diǎn)
1.方陣總人數=最外層每邊人數的平方（方陣問(wèn)題的核心）
2.方陣最外層每邊人數=（方陣最外層總人數÷4）＋1
3.方陣外一層總人數比內一層總人數多2
通過(guò)近幾年的省考來(lái)看，方陣問(wèn)題雖然并不像行程問(wèn)題、利潤問(wèn)題那樣年年都會(huì )考查。但是作為公務(wù)員考試的一個(gè)常考知識點(diǎn)，大家還是應該對其引起重視，尤其近兩年常會(huì )碰到的方陣的轉換及變形，以及空心方陣問(wèn)題都有一定難度，需要大家熟記方陣問(wèn)題的公式。
二、基礎知識
1.題型簡(jiǎn)介
方陣問(wèn)題是數學(xué)運算中一類(lèi)常見(jiàn)的數學(xué)問(wèn)題，是許多人或物按一定的條件排成正方形（簡(jiǎn)稱(chēng)方陣），再根據排成的方陣，找出規律，尋求解決問(wèn)題的方案。
2.概念區分
行：排隊時(shí)，橫著(zhù)排叫做行。
列：排隊時(shí)，豎著(zhù)排叫做列。
實(shí)心方陣：中心區域沒(méi)有空缺，叫實(shí)心方陣。
如圖1是實(shí)心方陣。
奇數型實(shí)心方陣：如圖2方陣每行每列都為奇數，叫奇數型實(shí)心方陣，其幾何中心恰好存在一個(gè)元素。
偶數型實(shí)心方陣：如圖3方陣每行每列都為偶數，叫偶數型實(shí)心方陣，其幾何中心不存在元素，其中心區域由4個(gè)元素構成。
空心方陣：中心區域有空缺，叫空心方陣。
如圖4是一層的空心方陣，圖5是二層的空心方陣。
3.方陣問(wèn)題的基本概念
（1）方陣不管在哪一層，每邊人的數量都相同，每向里面一層，每邊的數就減少2。
（2）方陣每相鄰兩層之間的總人數都相差8。
4.解題思路
在解決方陣問(wèn)題時(shí)，首先應該準確判斷方陣的類(lèi)型，要搞清方陣中的一些量（如層數、最外層人數、最里層人數、總人數）之間的關(guān)系。解題時(shí)要開(kāi)動(dòng)腦筋，運用相關(guān)公式，用多種方法來(lái)解題。
三、方陣問(wèn)題考點(diǎn)精講
（一）實(shí)心方陣
（1）方陣總人數=方陣最外層每邊人數的平方
（2）方陣每層總人數=方陣每層每邊人數×4-4
（3）方陣每層每邊人數=（方陣每層總人數+4）÷4
（4）奇數型實(shí)心方陣的最外層每邊人數=2×層數-1
偶數型實(shí)心方陣的最外層每邊人數=2×層數
例題1：在一次閱兵式上，某軍排成了30人一行的正方形方陣接受檢閱。最外兩層共有多少人？
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案詳解】根據題意可知，閱兵方陣為實(shí)心方陣。
最外層每邊30人，則最外層總人數為30×4-4=116人；
根據相鄰兩層相差為8人可知，次外層總人數為116-8=108人；
最外兩層共有116＋108=224人。
提示：（1）在方陣中若去掉一行一列，去掉的人數=原來(lái)每行人數×2-1；
（2）在方陣中若去掉二行二列，去掉的人數=原來(lái)每行人數×4-2×2。
（二）空心方陣
根據“相鄰兩層的人數相差為 8”，即以方陣最外層人數為首項，依次向里，組成一個(gè)公差為-8 的等差數列，利用等差數列求和公式可得：
方陣總人數=層數×最外層總人數-（層數-1）×層數÷2×8=層數×最外層總人數-（層數-1）×層數×4
方陣總人數=層數×最內層總人數+（層數-1）×層數÷2×8=層數×最內層總人數+（層數-1）×層數×4
公式不需要直接記憶，只要記住每一層的人數能夠組成一個(gè)公差為-8的等差數列就可以了。
例題2：有一隊士兵排成若干層的中空方陣，外層人數共有60人，中間一層共44人，則該方陣士兵的總人數是：
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案詳解】方法一，根據“相鄰兩層人數相差為8”，結合“外層人數共有60人，中間一層共44人”，可知這個(gè)方陣從外到內每層人數依次是60、52、44、36、28，所以該方陣士兵的總人數是60+52+44+36+28=220人。
方法二，最外層到中間一層相差（60-44）÷8=2層，即中間一層是第3層，一共有5層，則總人數是5×44=220人。
（三）方陣人數增減
例題3：體育課學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數為60人，如要在方陣最外層增加一層，則增加后最外層每邊有多少人？
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案詳解】增加前最外層人數為60人，則最外邊每邊人數為（60+4）÷4=16，增加一層后最外層每邊人數為16+2=18人。
（四）方陣重排
例題4：五年級學(xué)生分成兩隊參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲、乙兩個(gè)實(shí)心方陣，其中甲方陣最外層每邊的人數為8。如果兩隊合并，可以另排成一個(gè)空心的丙方陣，丙方陣最外層每邊的人數比乙方陣最外層每邊的人數多4人，且甲方陣的人數正好填滿(mǎn)丙方陣的空心。五年級參加廣播操比賽的一共有多少人？
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案詳解】空心的丙方陣人數=甲方陣人數+乙方陣人數，若丙方陣為實(shí)心的，那么實(shí)心的丙方陣人數=2×甲方陣人數+乙方陣人數，即實(shí)心丙方陣比乙方陣多8×8×2=128人。
丙方陣最外層每邊比乙方陣多4人，則丙方陣最外層總人數比乙方陣多4×4=16人，即多了16÷8=2層。這兩層的人數即實(shí)心丙方陣比乙方陣多的128人，則丙方陣最外層人數為（128+8）÷2=68人，則丙方陣最外層每邊人數為（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260人。
（五）方陣問(wèn)題與其他問(wèn)題相結合
例題5：某部隊戰士排成了一個(gè)6行、8列的長(cháng)方陣。現在要求各行從左至右１，２，１，２，１，２，１，２報數，再各列從前到后１，２，３，１，２，３報數。問(wèn)在兩次報數中，所報數字不同的戰士有：
A.18個(gè) B.24個(gè) C.32個(gè) D.36個(gè)
【答案詳解】此題可畫(huà)出直觀(guān)圖進(jìn)行解答。當從左至右報1時(shí)，從前至后報2的有8人，報3的也有8人；當從左至右報2時(shí)，同理可得，從前至后報1的有8人，報3的也有8人，即所報數字不同的戰士有32人。故選C。
四、核心要點(diǎn)
1.方陣總人數=最外層每邊人數的平方（方陣問(wèn)題的核心）
2.方陣最外層每邊人數=（方陣最外層總人數÷4）＋1
3.方陣外一層總人數比內一層總人數多2
4.去掉一行、一列的總人數＝去掉的每邊人數×2－1
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