今天和大家一起聊一聊數學(xué)運算中的“坑”——常見(jiàn)易錯點(diǎn)。
一、行程問(wèn)題——“車(chē)過(guò)橋”與中途休息
例題1、某列車(chē)通過(guò)1200米長(cháng)的隧道要用時(shí)33秒，與另一列長(cháng)150米、速度為50米/秒的列車(chē)錯車(chē)而過(guò)需要3秒，則該列車(chē)減速一半后，通過(guò)一座600米的橋梁所需的時(shí)間為？
A 18秒
B 20秒
C 30秒
D 36秒
【基礎解析】
根據題干可知，兩列火車(chē)錯車(chē)而過(guò)，相當于相遇問(wèn)題，所以經(jīng)過(guò)的路程為兩個(gè)火車(chē)車(chē)長(cháng)之和，速度為兩車(chē)速度之和，設列車(chē)速度為Vm/s，車(chē)身長(cháng)為L(cháng)，因為兩車(chē)錯車(chē)而過(guò)需要3秒，所以（L+150）/3=(V+50)，L=3V。列車(chē)經(jīng)過(guò)1200米隧道需要33秒，總路程長(cháng)為火車(chē)長(cháng)與1200之和，所以L(fǎng)+1200=33V，已推出L=3V，即1200=30V，V=40m/s。列車(chē)速度減半，則速度為20m/s，經(jīng)過(guò)橋梁，總路程為車(chē)身長(cháng)和橋梁長(cháng)S=600+3×40=720m,t=S/V=720/20=36秒。故本題答案為D。
【易錯/陷阱分析】
錯車(chē)而過(guò)的路程長(cháng)是包括兩列火車(chē)車(chē)身長(cháng)度之和，過(guò)橋過(guò)隧道均不能忽視車(chē)身長(cháng)度。
例題2、老李每天早晨9點(diǎn)準時(shí)出門(mén)散步鍛煉身體。他以3千米每小時(shí)的速度步行6千米，其中每走20分鐘休息5分鐘。那么老李鍛煉到（ ）回家。
A 11點(diǎn)20分
B 11點(diǎn)25分
C 11點(diǎn)30分
D 11點(diǎn)45分
【基礎解析】
根據題意，老李速度為3千米每小時(shí)，路程6千米，即不休息的話(huà)，老李走完6千米需要6÷3=2小時(shí)。每20分鐘休息一次，即一個(gè)小時(shí)休息60÷20=3次，因為最后一次走完不涉及休息時(shí)間，即120分鐘的路程中間需要休息5次，休息總時(shí)間=5×5=25分鐘。所以老李鍛煉道家的時(shí)間為9點(diǎn)+2小時(shí)25分鐘=11點(diǎn)25分。故本題答案為B。
【易錯/陷阱分析】
每走20分鐘休息5分鐘，從出門(mén)鍛煉到回家，則最后一次走到家里不涉及休息時(shí)間。行程問(wèn)題路途中的休息時(shí)間不能忽略，注意是否需要計算入總的行駛時(shí)間。
二、概率問(wèn)題——反向計算
例題3、正值畢業(yè)季，306宿舍有A、B、C、D四位男同學(xué)，他們準備找班主任宋老師合影，若要求宋老師坐正中間，A、B兩位同學(xué)不能挨著(zhù)坐，那么總共有多少種坐法?
A 8種
B 12種
C 16種
D 24種
【基礎解析】
解法一：根據題干可知，包括老師一共5人合影，老師要在中間，則老師左邊和右邊各兩個(gè)人。A、B不能挨著(zhù)坐，即AB不相鄰，則A、B分別在老師左右兩邊， C、D也分別在老師的左右兩邊。先讓A從剩下的4個(gè)位置中選擇1個(gè)，有C（4,1）=4種坐法，那么B只能從不挨著(zhù)A的2個(gè)位置中選一個(gè)，有C（2,1）=2種坐法，剩下的CD兩人就是從剩下的2個(gè)位置中進(jìn)行選擇，兩人進(jìn)行位置排列有A（2,2）=2種坐法，總共有4×2×2＝16種坐法。故本題答案為C。
解法二：反向考慮。宋老師坐正中間，ABCD四位同學(xué)總坐法有A（4,4）=24種，若AB兩位同學(xué)挨著(zhù)坐，則可捆綁后選擇宋老師左邊或右邊的兩個(gè)位置，有C（2,1）=2種，兩人內部位置排列有A（2,2）=2種，剩余宋老師的另一邊則是CD兩人排列有A（2,2）=2種坐法，故AB同學(xué)挨著(zhù)坐的情況共有2×2×2=8種。則不挨著(zhù)坐的情況有24-8=16種。故本題答案為C。
【易錯/陷阱分析】
概率問(wèn)題可從正面求解，也可從反面求解(一般當正面難以求解時(shí))，但反面求解應注意考慮全面或不多算。
三、經(jīng)濟利潤問(wèn)題——利潤率
例題4、一商品的進(jìn)價(jià)比上月低了5%，但超市仍按上月售價(jià)銷(xiāo)售，其利潤率提高了6個(gè)百分點(diǎn)，則超市上月銷(xiāo)售該商品的利潤率為：
A 12%
B 13%
C 14%
D 15%
【基礎解題】
設該商品上月的進(jìn)價(jià)為100，商品的售價(jià)為x，則該商品本月的進(jìn)價(jià)為95，可得（x-95）/95-（x-100）/100=0.06，即x/95-x/100=0.06，解得x=114，則超市上月的利潤率為（114-100）/100=14%。故本題答案為C。
【易錯/陷阱分析】
一般而言，數學(xué)運算中的利潤率=利潤/成本，資料分析中的利潤率=利潤/收入。
四、周期日期問(wèn)題——間隔周期、日期計算
例題5、甲、乙、丙三人均每隔一定時(shí)間去一次健身房鍛煉。甲每隔2天去一次，乙每隔4天去一次，丙每7天去一次。4月10日三人相遇，下一次相遇是哪天?
A 5月28日
B 6月5日
C 7月24日
D 7月25日
【基礎解析】
根據題干可知，甲每隔2天去一次健身房，則甲去健身房的周期為2+1=3天，乙每隔4天去一次健身房，則乙去健身房的周期為4+1=5天，丙每7天去一次健身房，則丙去健身房的周期為7天，所以甲、乙、丙三人同時(shí)去健身房的周期為3×5×7=105天。4月10日三人相遇，下一次三人相遇在健身房相遇是在105天之后，此時(shí)4月還剩20天，5月有31天，6月30天，7月還剩105-81=24天，即7月24日三人再次相遇。故本題答案為C。
【易錯/陷阱分析】
每隔n天去一次，周期為n+1天；每n天去一次，周期為n天。
五、濃度問(wèn)題——十字交叉法的運用
例題6、現有濃度為12%和24%的鹽水各若干克，將其混合后加入50克水，配制成了濃度為18%的鹽水600克，則原12%和24%的鹽水質(zhì)量之比是：
A 6:5
B 1:1
C 5:6
D 4:7
【基礎解析】
解析一：設濃度為12%的鹽水有x克，濃度為24%的鹽水有y克，混合后加入50克水得到濃度為18%的鹽水600克，則溶液總量600=x+y+50，混合前后含鹽量為12%x+24%y=18%×600，聯(lián)立兩式可解得x=200、y=350，則原12%和24%的鹽水質(zhì)量之比為200:350=4:7。故本題答案為D。
解析二：根據題干可知，混合得到濃度為18%的鹽水600克，則加水前，濃度為12%和24%的鹽水混合后得到的溶液的濃度為600×18%/（600-50）=108/550，則根據十字交叉法可得原12%和24%的鹽水質(zhì)量之比=（24%-108/550）：（108/550-12%）=4:7。故本題答案為D。
【易錯/陷阱分析】
溶液混合前后溶質(zhì)的質(zhì)量保持不變，溶液的質(zhì)量和濃度發(fā)生變化。本題中兩溶液混合后加水50克才得到濃度18%的鹽水，在運用十字交叉法時(shí)不能直接計算。
以上就是數學(xué)運算中常見(jiàn)的易錯點(diǎn)，另附上一些數學(xué)中的基本公式，預祝各位小伙伴們旗開(kāi)得勝。
1、工程問(wèn)題：
工作量=工作效率×工作時(shí)間、總工作量=各分工作量之和
2、行程問(wèn)題：
路程=速度×時(shí)間
相遇追及問(wèn)題公式：相遇距離=（V1+V2）×相遇時(shí)間、追及距離=（V1-V2）×追及時(shí)間
流水行船問(wèn)題公式：順水=船速+水速、逆水=船速-水速
往返相遇問(wèn)題公式：兩岸型兩次相遇 S=3S1-S2、單岸型兩次相遇 S=（3S1+S2）/2（S1為第一次相遇距離，S2為第二次相遇距離）
3、經(jīng)濟利潤問(wèn)題：
利潤=售價(jià)-成本、利潤率=利潤/成本、總利潤=單利潤×銷(xiāo)量=總售價(jià)-總成本
4、排列組合：
排列和組合的計算公式：A(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)；C(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)/m!；C(n,m)=C(n,n-m)。
分類(lèi)原理和分步原理的區別和運用：分類(lèi)用加法，分步用乘法。
排列組合的常見(jiàn)方法：捆綁法、插空法、隔板法、錯位排列、圓桌排列。
5、容斥原理：
兩集合容斥公式 A+B-A∩B=全部-都不
三集合容斥公式 A+B+C-(A∩B+B∩C+A∩C)+A∩B∩C=全部-都不
三集合變形公式 A+B+C-(各個(gè)只同時(shí)屬于兩個(gè)集合的值的和)-2×A∩B∩C=全部-都不
6、濃度問(wèn)題：
溶液=溶質(zhì)+溶劑、濃度=溶質(zhì)/溶液
7、牛吃草問(wèn)題：
y=（N-x）×t，其中y代表草原量，N代表牛的頭數，x代表草生長(cháng)的速度，t代表牛吃完這片草所用的時(shí)間。
8、基礎數學(xué)公式
（1）常考數列的求和
自然數列：1+2+3+……+n=n*(n+1)/2。[自然數列中，數的個(gè)數=(大數-小數)+1]
公差為d的等差數列：a[n]=a[1]+(n-1)d;S[n]=(a[1]+a[n])/2×n;S[n]=na[1]+n(n-1)/2×d。
（2）2、3、5的倍數的數字特征
2的倍數=該數能被2整除：數的最末一位數字是一個(gè)偶數;
5的倍數=該數能被5整除：數的最末一位數字是0或5;
3(9)的倍數=該數能被3(9)整除：數的各個(gè)位上的數字之和是3(9)的倍數。
（3）同余定理
差同減差(選除數的最小公倍數，然后“減差”)
和同加和(選除數的最小公倍數，然后“加和”)
余同取余(選除數的最小公倍數，然后“加余”)
（4）倍數特性
若a:b=m:n（m、n互質(zhì)），則a是m的倍數，b是n的倍數，a+b（a-b）是m+n（m-n）的倍數。
