在數量關(guān)系題型中，常考的有兩種題型，分別是二集合容斥原理和三集合容斥原理。解決容斥原理常用的方法有公式法和畫(huà)圖法，其中公式法解決容斥原理是非常快速的解題方法，只要學(xué)會(huì )公式，理解并能夠熟練應用公式，那么容斥原理是考場(chǎng)中比較容易拿分的一種題型。
兩集合容斥原理公式為：滿(mǎn)足條件1的個(gè)數＋滿(mǎn)足條件2的個(gè)數－兩者都滿(mǎn)足的個(gè)數＝總個(gè)數－兩者都不滿(mǎn)足的個(gè)數；
三集合容斥原理分成標準型和非標準型兩種。
三集合標準型容斥原理公式為：滿(mǎn)足條件1的個(gè)數+滿(mǎn)足條件2的個(gè)數+滿(mǎn)足條件3的個(gè)數-滿(mǎn)足兩個(gè)條件的個(gè)數+三者都滿(mǎn)足的個(gè)數=總個(gè)數-三者都不滿(mǎn)足的個(gè)數。
三集合非標準型容斥原理公式為：滿(mǎn)足條件1的個(gè)數+滿(mǎn)足條件2的個(gè)數+滿(mǎn)足條件3的個(gè)數-“只”滿(mǎn)足兩個(gè)條件的個(gè)數-2×三者都滿(mǎn)足的個(gè)數=總個(gè)數-三者都不滿(mǎn)足的個(gè)數。
【例1】學(xué)校有300個(gè)學(xué)生選擇參加地理興趣小組，生物興趣小組或者兩個(gè)小組同時(shí)參加。如果80%學(xué)生參加地理興趣小組，50%學(xué)生參加生物興趣小組。問(wèn)同時(shí)參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數是多少？
A.240
B.150
C.90
D.60
答案：C
【解析】第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于二集合容斥類(lèi)，用公式法解題。
第二步，共兩個(gè)興趣小組，其中80%的學(xué)生參加地理興趣小組、50%的學(xué)生參加生物興趣小組，根據兩集合容斥原理公式：滿(mǎn)足條件1的個(gè)數＋滿(mǎn)足條件2的個(gè)數－兩者都滿(mǎn)足的個(gè)數＝總個(gè)數－兩者都不滿(mǎn)足的個(gè)數，設同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的學(xué)生占比為x，則有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的共有300×30%＝90（人）。因此，選擇C選項。
【例2】學(xué)某單位共有240名員工，其中訂閱A期刊的有125人，訂閱B期刊的有126人，訂閱C期刊的有135人，訂閱A、B期刊的有57人，訂閱A、C期刊的有73人，訂閱3種期刊的有31人，此外，還有17人沒(méi)有訂閱這三種期刊中的任何一種。問(wèn)訂閱B、C期刊的有多少人？
A.57
B.64
C.69
D.78
答案：B
【解析】第一步，本題考查容斥原理。
第二步，題目中滿(mǎn)足兩個(gè)條件的集合人數是分別給出的，應用三集合標準型容斥原理公式解題。設訂閱B、C期刊的有x人，可列方程：125＋126＋135－57－73－x＋31＝240－17，解得x＝64（也可利用尾數法求得尾數為4）。因此，選擇B選項。
【例3】某班參加學(xué)科競賽人數40人，其中參加數學(xué)競賽的有22人，參加物理競賽的有27人，參加化學(xué)競賽的有25人，只參加兩科競賽的有24人，參加三科競賽的有多少人？
A.2
B.3
C.5
D.7
答案：C
【解析】第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于三集合容斥類(lèi)，用公式法解題。
第二步，設參加三科競賽的有x人，根據三集合非標準型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。因此，選擇C選項。
